Las soluciones, en números

Un subjuego por (marcador, quién reparte, clase de muestra): 1.296 en total, cada uno cubriendo 140.118 repartos distintos una vez que las equivalencias exactas colapsan la combinatoria cruda de las cartas. Dentro de un subjuego, el árbol crece según cuánta escalera de subas sigue viva.

Fuera de mano de once, el motor sigue permitiendo la escalera normal de aumentos. El solver solo elimina el aumento siguiente cuando marcador menor + apuesta actual ≥ 12: en ese punto la mano actual ya decide la partida para cualquiera que gane, así que subir no agrega premio ni poder racional para hacer retirar al rival. Esto es poda exacta en valor, no una afirmación de que esos botones sean ilegales. Los extremos diagonales son referencias compactas: 0 × 0 → 2 × 2 también cubre marcadores desiguales como 2 × 10 y su espejo 10 × 2. La tabla muestra lo que el solver conserva con muestra 4, para una orientación del repartidor, sobre todos los repartos abstractos.

Conteos exactos con muestra 4; las otras clases de muestra todavía no se contaron todas en cada franja.

Esos son los árboles crudos. El árbol de producción además quita ramas probadamente irrelevantes — poda de subas consciente del marcador más podas con prueba — recortando el nivel más profundo de 6,70B a 3,80B de nodos (756,8M de conjuntos de información) sin perder exactitud. Los gráficos publicados viven en los dos niveles más chicos: una raíz de once es un árbol de 49,6M de nodos, y un 10×10 es un árbol de ~200M de nodos sobre 39,5M de conjuntos de información.

Existen estrategias exactas para 216 de 1.296 subjuegos: los 23 marcadores ordenados donde mano o pie está en 11, en las nueve clases de muestra (207), más 10 × 10 en las nueve clases (9). Los otros 1.080 no se resolvieron como una grilla tabular completa.

La versión detrás de esa cobertura guarda 225 artefactos — uno por (marcador, muestra, asiento del repartidor): cada marcador 11 × N en las dos orientaciones del repartidor, más el 10 × 10 en una. Las dos cuentas difieren exactamente por el 11 × 11, simétrico: sus dos orientaciones son el mismo juego con los asientos renombrados — nueve artefactos que cubren nueve subjuegos ya contados una vez. El propio Study Lab incluye un subconjunto de 15 gráficos de la versión, todos con muestra 4.

La versión actual del Study lleva 225 situaciones resueltas — los artefactos por (marcador, muestra, repartidor) de la cobertura de arriba. Cada situación sale con una autocertificación exacta: se computa una mejor respuesta genuina contra la estrategia exportada desde ambos asientos, y el promedio de las dos ganancias es la explotabilidad ε de la situación, en la escala donde ε 0,01 ≈ 0,5 puntos porcentuales de chance de ganar la partida. Según el origen de la solución:

Las transferencias tenían que pasar puertas duras — ε crudo ≤ 0,01, ε purificado ≤ 0,004, gap medio ponderado de mejor respuesta por nodo ≤ 0,25 pp — o el worker descartaba la candidata y resolvía desde cero. Las soluciones nativas convergen mucho más ajustado en lo global (mediana ε 0,00001), pero 28 de ellas llevan perfiles por nodo más anchos — exactamente lo que las insignias ≈ por celda del lab existen para mostrar.

Resolvé dos subjuegos vecinos de forma independiente hasta converger y comparalos fila por fila. Dos promedios cuentan historias distintas: sobre todas las filas de la tabla, y ponderado por cuántas veces el juego llega de verdad a cada fila. TV es la distancia de variación total — la fracción de probabilidad que tendría que moverse para convertir la mezcla de una fila en la de la otra (0 = idénticas).

La asimetría es el hallazgo. Cambiar la clase de muestra casi no mueve el juego en ningún lado: la distancia en el camino queda cerca de 0,02 y la decisión de la raíz cambia 0,005. Cambiar el marcador concentra todo su efecto justo donde pasa el juego — la fila de aceptar/retirarse de la raíz se mueve 0,196, las profundidades 1–3 se mueven 0,12–0,18, y solo cerca de la mitad de la masa de juego queda en filas efectivamente idénticas. Un núcleo chico, poco profundo y sensible al marcador carga más o menos la mitad del juego jugado.

Llamá pura a la fila cuya mayor acción se lleva más del 99% de la mezcla. La mezcla domina las tablas — pero no el juego jugado:

Más de la mitad del juego real pasa en decisiones (casi) puras — las mismas filas que coinciden en 99,99%+ entre soluciones vecinas. El complemento es igual de real: cerca del 45% de la masa de juego es genuinamente mixta, la parte del truco óptimo que se resiste a reglas humanas nítidas. Ajustá “pura” a 99,9% y la pureza en el camino cae a 50,7% (11×10) y 39,3% (10×10) — la nitidez se ablanda con el corte.

El solver es CFR+ sincrónico, adoptado tras medir un recorte de ~10× en la cantidad de iteraciones con el mismo ε certificado. La versión de 225 situaciones la construyeron cuatro workers preemptibles de nube en 3–4,5 horas cada uno — transfiriendo la solución de un vecino donde el certificado lo permitía (85% de las situaciones) y resolviendo desde cero donde no — por del orden de US$ 5 de cómputo. Una solución en caliente de la banda del truco hoy hace pico en ~16 GiB y ~18 minutos; una cadena de trabajo de memoria bajó el mismo job desde una clase de máquina de 75 GiB.

Certificar es barato al lado de resolver: una mejor respuesta exacta del juego entero en el nivel más profundo — la escalera completa desde 0×0, 14,6 mil millones de visitas a nodos — entra en 8,1 GiB y menos de tres horas. La frontera es la solución profunda en sí: solo armar el árbol del 0×0 en memoria pide más de 150 GiB, y por eso la malla debajo de las bandas publicadas se ataca de abajo hacia arriba, subjuego por subjuego.