La solución es un par de estrategias — una por lado — donde ninguno puede mejorar cambiando, haga lo que haga el otro. La teoría de juegos lo llama equilibrio de Nash. En un juego de cartas ocultas y engaño no puede ser una única “mejor jugada”: es una mezcla, calibrada para que el rival no pueda leerte. La idea entera entra en un final diminuto que podés resolver a mano —
Un engaño que se resuelve a mano
Última ronda, apuestas reales. Mano salió con un 3 común — está sobre la mesa, sin nada atrás. Pie llega con la manilha más alta (m♣, el 5♣ bajo v4) o con un 4 muerto, con la misma frecuencia, y canta truco: la mano sube de 1 punto a 3. Mano puede retirarse — cediendo el punto base — o aceptar y jugar la ronda por 3. Un reparto, un engaño, una decisión:
¿Mano debería aceptar? Depende de un solo número: p, la porción de manilhas detrás del truco de pie. Aceptar cobra 3 cuando el truco era aire y pierde 3 cuando aparece la manilha; retirarse cuesta 1 seguro:
Los pagos son puntos para mano, con las apuestas reales del engine: retirarse de un truco cede el valor aceptado anterior (1); aceptar juega la mano subida (3). p es la probabilidad de que el truco esconda la m♣.
En p* = 2/3 mano queda exactamente indiferente. Un rango de truco más rico que dos tercios de manilha hace correcto retirarse; más flaco, y aceptar imprime. Todo lo que muestran los gráficos del lab es esta misma aritmética, repetida a escala.
Por qué la solución mezcla
Ahora dale la perilla a pie. Trucar la manilha es automático — la elección es b, qué tan seguido pie también truca el 4 muerto. Nunca mientas y cada truco significa manilha: mano aprende a retirarse, y el monstruo de pie gana un solo punto. Mentí siempre y la mitad de los trucos es aire: mano acepta todos y cobra 3 cada vez que asoma el 4. Los dos hábitos puros quedan explotados apenas el rival se aviva.
El equilibrio queda donde nadie puede ser leído. Pie miente justo lo suficiente para que el rango de truco caiga en el punto de indiferencia de mano, y mano acepta justo lo suficiente para que mentir ni imprima plata ni la queme:
b es la frecuencia de engaño de pie con el 4 muerto; c es la frecuencia de aceptar de mano. El reparto 50/50 más b* = ½ pone 2 manilhas detrás de cada 3 trucos — el p* de arriba.
Una estrategia resuelta sortea a propósito — exactamente a la tasa que vuelve inútil leerla. Cada celda mixta del lab está haciendo esto.
Cómo la máquina resuelve el juego real
El árbol real del juego es demasiado grande para aritmética a mano, así que la solución se calcula con minimización de arrepentimiento contrafactual: el programa juega contra sí mismo miles de millones de manos y, en cada decisión, se inclina un poco más hacia lo que se arrepintió de no jugar —
Rᵀ(a) suma cuánto mejor habría rendido jugar siempre a que la estrategia realmente jugada; los arrepentimientos positivos, renormalizados, arman la próxima mezcla — regret matching.
Promediado en el tiempo, ese juego contra sí mismo se asienta en el equilibrio, y el resultado queda certificado — revisado acción por acción contra una mejor respuesta perfecta — así que “exacto” significa exacto, dentro de una tolerancia declarada.
Resolver de forma exacta es caro, y el lab incluye solo algunos gráficos exportados. Una opción gris de Marcador o Muestra significa que no hay un gráfico cargado para ese spot exacto; no significa que se esté calculando ahora ni que no exista un artefacto del solver. El censo de cobertura del apéndice — el capítulo de números — separa esos casos.