Truco - Baixada

Cada celda del lab responde una de cuatro preguntas sobre la misma decisión resuelta: qué hace la solución acá (Estrategia), qué manos llegan de verdad hasta acá (Rango), cuánto costaría un hábito fijo (Costo) y cómo cambia el juego entre dos puntos (Comparar). La tabla da las cuatro de un vistazo; las secciones de abajo las toman de a una — primero la fórmula, después una figura de celdas resueltas reales, dibujada con los mismos componentes del lab.

Las cuatro vistas de un vistazo

Vista	Qué muestra el número	Fórmula	Para tu juego
Estrategia	la porción de cada acción en la mezcla — las bandas de color; el número impreso es la porción más grande	$\sigma(a \mid h)$	Cuando la celda mezcla, mezclá vos también: un hábito fijo en un punto de mezcla es justo lo que un lector explota.
Rango	la porción de cada mano dentro del rango que llega del jugador en turno; el sombreado sigue a la celda más pesada	$P(h \mid \ell) \propto P_0(h)\,\textstyle\prod \sigma$	Los rangos se ganan, no se reparten — cada acción que un jugador atraviesa filtra lo que todavía puede tener.
Costo	cuánto resigna el hábito tasado frente a la mejor acción disponible, mano por mano	$\max_{a} v(a) - v(\cdot)$	Las celdas oscuras son donde la disciplina paga; las claras perdonan casi cualquier hábito.
Comparar	cuánto se corre la misma decisión entre dos puntos resueltos — brecha de aceptar en las apuestas, variación total en el resto	$\Delta\sigma_{\mathrm{accept}} \;/\; \mathrm{TV}(\sigma, \sigma')$	Si Comparar se enciende, el marcador cambió el juego — no lleves un gráfico de un marcador a otro.

§ 1

Estrategia — la mezcla misma

Fijá una mano y la respuesta de la solución no es una carta: es una probabilidad para cada acción legal: σ(a | h), la estrategia promedio en esta decisión. La celda dibuja esa mezcla como bandas de color, cada una tan ancha como la porción de su acción, e imprime solo la porción más grande como número. La mezcla completa está siempre a un hover — el tooltip y el panel de la mano abren cada acción; el número solo, nunca.

n_{\mathrm{cell}} = 100 \cdot \max_{a}\, \sigma(a \mid h)

$h$: una mano exacta
$\sigma(a \mid h)$: qué tan seguido la solución toma la acción a con h

El número impreso es la porción modal de la mezcla mostrada. Cada celda es una mano exacta, así que las bandas son el σ de esa mano — nada se agrega.

Cuando la celda mezcla, mezclá vos también: un hábito fijo en un punto de mezcla es justo lo que un lector explota.

L = 4

H \ M	5♥	5♠	5♦	3	2	A	K	J	Q	7	6	4
5♣	50	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	51
5♥		50	100	100	100	100	100	100	100	100	100	86
5♠			50	100	100	100	100	100	100	100	100	91
5♦				94	100	100	100	100	100	100	100	93
3				100	100	100	100	100	100	100	100	97
2					100	100	100	100	100	100	100	97
A						100	98	100	100	100	100	97
K							100	96	100	100	100	97
J								100	65	100	100	96
Q									100	99	100	87
7										100	70	59
6											78	99
4												100

jugar la más altajugar la del mediojugar la más baja

Lámina IV Datos reales — 11x11 v4, salida de la mano, bloque L = 4: cada mano exacta cuya carta más débil es un 4. 23 de estas 87 celdas mezclan; el número es la porción más grande, y el tratamiento ≈ marcaría cualquier celda subentrenada (este bloque no tiene ninguna).

§ 2

Rango — quién llega de verdad

Un rango es cada mano que un jugador todavía puede tener en una decisión, pesada por qué tan seguido de verdad está acá. Ese peso es la aritmética de Bayes: arrancá por qué tan seguido el reparto produce la mano, y multiplicá σ por cada acción observada de la línea. El gráfico normaliza esos pesos en porciones del rango que llega.

\begin{aligned} P(h \mid \ell) \;&=\; \frac{w(h)}{\sum_{h'} w(h')} \\[10pt] w(h) \;&\propto\; P_0(h) \prod_{d \,\in\, \ell} \sigma(a_d \mid h) \end{aligned}

$P_0(h)$: qué tan seguido el reparto produce h
$\ell$: la línea de juego observada hasta acá
$d$: una decisión observada a lo largo de ℓ
$w(h)$: el peso de llegada de h — enviado por nodo en el export

El export trae w(h) precalculado por nodo — el lab solo normaliza y sombrea.

Por eso los rangos se mueven a medida que recorrés. Cada decisión multiplica otro σ, y las manos que rara vez habrían jugado la línea observada se escurren del cuadro — las manos de retirarse desaparecen después de un aceptar, las manos débiles desaparecen después de una salida confiada. El árbol de juguete del capítulo de resolución es el caso mínimo: un truco de pie repesa al instante su rango a dos tercios de manilha.

Los rangos se ganan, no se reparten — cada acción que un jugador atraviesa filtra lo que todavía puede tener.

alta \ baja	5♥	5♠	5♦	3	2	A	K	J	Q	7	6	4
5♣	0.2%	0.2%	0.2%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.2%	0.3%
5♥		0.2%	0.2%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.2%	0.3%
5♠			0.2%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.2%	0.3%
5♦				0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.6%	0.2%	0.3%
3				1%	3%	3%	3%	3%	3%	3%	1%	1%
2					1%	3%	3%	3%	3%	3%	1%	1%
A						1%	3%	3%	3%	3%	1%	1%
K							1%	3%	3%	3%	1%	1%
J								1%	3%	3%	1%	1%
Q									1%	3%	1%	1%
7										1%	1%	1%
6											0.2%	0.5%
4												0.2%

Lámina V Datos reales — 11x11 v4 : 4 6 — pie respondió el 4 de mano con un 6 y ahora sale en la ronda 2. Cada celda es un par exacto de cartas restantes; el % es su porción del rango que llega de pie, sombreada contra la celda más pesada. Los pesos cargan σ(responder 6 | h): las manos que hubieran preferido responder distinto quedan pálidas.

§ 3

Costo — el precio de un hábito

El Costo tasa errores en vez de describir la mezcla. Para cada mano alinea cuánto valen las acciones disponibles — v(a) — y cobra la brecha entre la mejor acción y la que toma tu hábito. PEOR ACCIÓN tasa el error más grande disponible; MÁS JUGADA tasa el hábito más suave de tomar siempre la acción más jugada de la solución en vez de mezclar.

\begin{aligned} \Delta_{\mathrm{worst}}(h) \;&=\; \max_{a \in \mathcal{P}} v(a) \;-\; \min_{a \in \mathcal{P}} v(a) \\[8pt] \Delta_{\mathrm{played}}(h) \;&=\; \max_{a \in \mathcal{P}} v(a) \;-\; v(a^{\star}) \end{aligned}

v_{\mathrm{pts}}(a) \;=\; \mathrm{pts}(a) \qquad\qquad v_{\mathrm{win}}(a) \;=\; 50\, q(a)

$\mathcal{P}$: el pool de acciones: todas, o solo las jugadas boca arriba bajo IGNORAR OCULTAS
$v(a)$: el valor de una acción en la moneda elegida (puntos o pp de victoria)
$q(a)$: la equity de partida del solver tras la acción, en escala ±1 (50 pp por unidad)
$a^{\star}$: la acción más jugada de la mezcla

Dos monedas: puntos de la mano — los 1 · 3 · 6 · 9 · 12 en juego en esta mano — o puntos porcentuales de victoria en la partida, donde la equity q del solver (±1) convierte a 50 pp por unidad: % de victoria = 50 + 50 q.

Las celdas oscuras son donde la disciplina paga; las claras perdonan casi cualquier hábito.

L = 4

H \ M	5♥	5♠	5♦	3	2	A	K	J	Q	7	6	4
5♣	0.9	7.7	15	17	31	36	35	29	22	17	15	·
5♥		0.4	7.3	11	26	33	32	27	21	16	14	·
5♠			0.2	4.5	22	29	30	26	20	15	13	0.1
5♦				2.0	17	26	27	24	19	14	13	0.1
3				13	3.6	12	17	17	14	10	9.4	0.2
2					9.5	2.3	7.2	9.9	8.9	6.9	6.5	0.1
A						6.8	1.7	4.2	5.4	4.5	4.3	0.1
K							4.6	1.1	2.3	2.5	2.6	0.1
J								2.7	0.5	1.0	1.4	·
Q									1.4	0.3	0.5	·
7										0.5	·	·
6											·	·
4												·

Lámina VI Datos reales — el mismo bloque de la figura de Estrategia (11x11 v4, salida, L = 4), tasado con PEOR ACCIÓN en pp de victoria, con IGNORAR OCULTAS prendido. Las celdas '·' son planas de costo: cualquier carta sirve. Las oscuras son las manos donde un hábito perezoso sangra en serio — comparalas con sus mezclas de arriba.

§ 4

Comparar — misma decisión, otro punto

Comparar carga la misma decisión desde un segundo punto resuelto y colorea el desacuerdo. En decisiones de apuesta — la mano de once, un truco pendiente — cada celda muestra la brecha de aceptar con signo: verde donde el otro punto acepta más, rojo donde se retira más. En decisiones de carta muestra la distancia de variación total: la porción del juego que tendría que moverse para convertir una mezcla en la otra, de 0 (idénticas) a 100 (opuestas).

\Delta_{\mathrm{accept}}(h) \;=\; \sigma'(\mathrm{accept} \mid h) \;-\; \sigma(\mathrm{accept} \mid h)

\mathrm{TV}(h) \;=\; \tfrac{1}{2} \sum_{a} \bigl|\, \sigma'(a \mid h) - \sigma(a \mid h) \,\bigr|

$\sigma'$: la mezcla de la misma decisión en el punto comparado

σ′ es la mezcla del otro punto. La celda elige Δaceptar exactamente cuando la decisión ofrece aceptar / retirarse; si no, TV.

Si Comparar se enciende, el marcador cambió el juego — no lleves un gráfico de un marcador a otro.

L = 4

H \ M	5♥	5♠	5♦	3	2	A	K	J	Q	7	6	4
5♣	·	·	·	·	·	·	·	·	·	·	·	89
5♥		1	·	·	·	·	·	·	·	·	·	82
5♠			5	·	·	·	·	·	·	·	·	65
5♦				45	·	·	·	·	·	·	·	55
3				·	·	·	77	4	22	28	33	25
2					·	14	1	18	13	15	15	8
A						·	36	22	3	27	4	2
K							·	35	13	24	1	1
J								·	22	25	·	·
Q									12	79	87	6
7										19	82	83
6											5	73
4												·

Lámina VII Datos reales — la salida después del aceptar, mano a 10 (11x10 v4) contra mano a 2 (11x2 v4), bloque L = 4. El dorado marca manos que la mano que va perdiendo juega distinto. En el propio aceptar de la mano de once esta comparación queda casi en blanco — entre esos marcadores el umbral de aceptar casi no se mueve.

§ 5

Los selectores de la barra

Los selectores de la barra no cambian la maquinaria — cambian qué pregunta responde el Costo, y qué acciones cuentan.

Puntos: tasa el COSTO en puntos de la mano — los 1 · 3 · 6 · 9 · 12 en juego en esta mano — en vez de equity de la partida. Sirve para la intuición; la equity sigue siendo la vara real, porque los mismos puntos valen distinto según el marcador. $v = \mathrm{pts}(a)$ · $v = 50\,q(a)$
Ignorar ocultas: deja las jugadas tapadas fuera del pool de mejor/peor del Costo siempre que exista una jugada boca arriba, así el número tasa qué carta elegís, no si la tapás. Apagalo para tasar la propia decisión de tapar. La acción más jugada de la mezcla todavía puede ser una tapada — solo se filtra el pool.
Más jugada: la base por defecto del COSTO: lo que perdés jugando siempre la única acción más jugada en vez de la mezcla verdadera. $\max_{\mathcal{P}} v - v(a^{\star})$
Peor acción: la base adversarial: lo que pierde la acción disponible más cara — el tamaño del peor error posible en cada celda. $\max_{\mathcal{P}} v - \min_{\mathcal{P}} v$

§ 6

Los números del encabezado

Dos números acompañan cada gráfico, y los dos salen de los mismos pesos que el Rango.

Equity · % de victoria: la chance del jugador en turno de ganar la partida desde esta decisión si los dos lados siguen la solución — el promedio del rango, pesado por llegada, del valor de la mezcla de cada mano, convertido a porcentaje.
Alcance: qué tan seguido una partida de esta banda recorre exactamente esta línea — el peso total del nodo sobre el de la raíz de la banda. Los rincones de poco alcance reciben poco entrenamiento, y ahí vive la marca ≈ (mirá el capítulo de confianza).

\begin{aligned} \mathrm{Eq} \;&=\; 50 + 50\,\bar q \\[8pt] \bar q \;&=\; \frac{\sum_h w(h)\, q_\sigma(h)}{\sum_h w(h)} \end{aligned}

\mathrm{reach} \;=\; \frac{W_{\mathrm{node}}}{W_{\mathrm{root}}}, \qquad W = \sum_h w(h)

$w(h)$: el peso de llegada de h — enviado por nodo en el export
$q_\sigma(h)$: el valor de h bajo su propia mezcla: Σₐ σ·q
$W$: el peso total de un nodo — la suma de sus w(h)