As abstrações sem perda por trás da solução

Fora das quatro manilhas, o naipe nunca afeta força nem legalidade. Um 3 de ouros e um 3 de paus, portanto, têm o mesmo futuro contra qualquer mão possível. O solver mantém uma só classe de 3 comum; o lab pode imprimir qualquer um dos quatro naipes físicos quando necessário.

Quando os naipes comuns deixam de importar, os 7 físicos são intercambiáveis. Importa apenas quantos restam. No exemplo abaixo, um 7 já está visível; por isso, a árvore guarda um valor com três cópias restantes em vez de três cartas nomeadas. Cada novo 7 visível retira outra cópia.

A partida não é resolvida como uma árvore monolítica. No início de cada mão, três fatos públicos escolhem um subgame limitado: o placar, quem é o carteador e a carta vira. Cada um muda o jogo seguinte por uma razão diferente.

O solver então reescreve os dois primeiros fatos em ordem de papel. Assento 0 e assento 1 são identificadores do serviço; a mão abre a primeira rodada e o pé deu as cartas. Portanto, o carteador não some e não cria outro ×2: ele decide qual pontuação física ocupa cada posição. Gire o carteador sem mudar os pontos e o placar ordenado troca.

O placar físico é o mesmo nos dois casos: assento 0 tem 5 · assento 1 tem 7. A posição do carteador muda qual subgame ordenado é resolvido.

Quantos subgames isso cria?

Essa normalização produz a grade imediatamente. Mão e pé podem ter de 0 a 11 pontos, então o placar orientado pelo carteador forma 12 × 12 = 144 estados ordenados por papel. O baralho tem dez valores concretos de vira, mas só nove classes estruturais exatas; a próxima seção prova a única fusão, vira 2 ≡ vira 3. O carteador não acrescenta outro ×2 porque já decidiu qual placar físico pertence ao pé.

O produto forma 1.296 subgames exatos de uma mão. É isso que os controles Placar, Carteador e Vira do lab selecionam: o placar e o carteador escolhem o estado ordenado por papel, e a vira escolhe uma de suas nove árvores de cartas. São coordenadas de uma política, não rótulos cosméticos.

Quanto importam as coordenadas? Isso foi medido, sobre soluções vizinhas convergidas: classes de vira vizinhas são quase intercambiáveis por onde o jogo de fato passa, enquanto placares vizinhos discordam em cerca de um sétimo do jogo real, concentrado nos primeiros lances da mão. Essa assimetria é o motivo de soluções transferirem entre viras muito mais barato do que entre placares.

O caso surpreendente é vira 2 ≡ vira 3. Com vira 2, os 3 viram manilhas e restam apenas três 2 comuns. Com vira 3, os 4 viram manilhas e restam apenas três 3 comuns. Renomeie cada força uma posição ao redor do baralho e as estruturas coincidem: oito valores comuns completos, um valor comum mais forte com três cópias e quatro manilhas ordenadas por naipe.

É por isso que o seletor pode mostrar 2 ou 3 e ainda carregar a mesma solução exata. O valor escolhido ou digitado continua lembrado em cada rótulo concreto de carta; só a estrutura estrategicamente idêntica é compartilhada.

Aqui está a dependência real. Em 10 × 11, quem está com 11 enfrenta a decisão da mão de onze: aceitar e jogar valendo 3, ou correr e ceder 1 ponto. Aceitar faz esta mão decidir a partida de qualquer jeito. Correr cria a mão seguinte em 11 × 11, com o carteador girado. Portanto, o valor correto de correr é quanto o jogo 11 × 11 já resolvido vale para esse jogador — não apenas “menos um ponto”.

O solver resolve primeiro as duas orientações de carteador de 11 × 11, nas nove classes de vira, e guarda seus valores de continuação ponderados pela chance. Ele substitui a folha de correr de cada árvore 10 × 11 pelo valor guardado correto e então resolve aceitar ou correr. Repetir essa substituição leva a solução para trás pela partida. A vira atual afeta o ramo de aceitar; depois de correr, o baralho é reembaralhado e a próxima vira é sorteada de novo. Isso é programação dinâmica exata, não horizonte truncado.

O tamanho dessas árvores — e quanto da grade de 1.296 subgames já está resolvido, a que custo — é material de registro, guardado com o resto das medições.