As soluções, em números

Um subjogo por (placar, quem dá as cartas, classe de vira): 1.296 ao todo, cada um cobrindo 140.118 distribuições distintas depois que as equivalências exatas colapsam a combinatória crua das cartas. Dentro de um subjogo, a árvore cresce com o quanto da escada de aumentos ainda está vivo.

Fora da mão de onze, o engine continua permitindo a escada normal de aumentos. O solver só remove um aumento seguinte quando menor placar + aposta atual ≥ 12: nesse ponto, a mão atual já decide a partida para qualquer vencedor, então aumentar não acrescenta prêmio nem poder racional de fazer o adversário correr. Isso é poda exata em valor, não uma afirmação de que esses botões são ilegais. As extremidades diagonais são referências compactas: 0 × 0 → 2 × 2 também cobre placares desiguais como 2 × 10 e o espelho 10 × 2. A tabela mostra o que o solver mantém com vira 4, numa orientação do carteador, sobre todas as distribuições abstratas.

Contagens exatas com vira 4; as outras classes de vira ainda não foram todas contadas em cada faixa.

Essas são as árvores cruas. A árvore de produção ainda remove ramos comprovadamente irrelevantes — poda de aumentos ciente do placar mais podas com prova — cortando o tier mais fundo de 6,70B para 3,80B de estados (756,8M de conjuntos de informação) sem nenhuma perda de exatidão. Os gráficos publicados vivem nos dois tiers menores: uma raiz de onze é uma árvore de 49,6M de estados, e um 10×10 é uma árvore de ~200M de estados sobre 39,5M de conjuntos de informação.

Existem estratégias exatas para 216 de 1.296 subgames: todos os 23 placares ordenados em que mão ou pé está em 11, nas nove classes de vira (207), mais 10 × 10 nas nove classes (9). Os outros 1.080 não foram resolvidos como uma grade tabular completa.

A versão que sustenta essa cobertura guarda 225 artefatos — um por (placar, vira, assento do carteador): cada placar 11 × N nas duas orientações do carteador, mais o 10 × 10 em uma. As duas contagens diferem exatamente pelo 11 × 11, simétrico: suas duas orientações são o mesmo jogo com os assentos renomeados — nove artefatos cobrindo nove subgames contados uma vez. O próprio Study Lab inclui um subconjunto de 15 gráficos da versão, todos com vira 4.

A versão atual do Study carrega 225 situações resolvidas — os artefatos por (placar, vira, carteador) da cobertura acima. Cada situação sai com uma autocertificação exata: uma melhor resposta genuína é computada contra a estratégia exportada dos dois assentos, e a média dos dois ganhos é a explorabilidade ε da situação, na escala em que ε 0,01 ≈ 0,5 ponto percentual de chance de vencer a partida. Por origem da solução:

Transferências tinham que passar por portões duros — ε cru ≤ 0,01, ε purificado ≤ 0,004, gap médio ponderado de melhor resposta por nó ≤ 0,25 pp — ou o worker descartava a candidata e resolvia do zero. Soluções nativas convergem bem mais apertado no global (mediana ε 0,00001), mas 28 delas carregam perfis por nó mais largos — exatamente o que os selos ≈ por célula do lab existem para mostrar.

Resolva dois subjogos vizinhos de forma independente até a convergência e compare-os linha a linha. Duas médias contam histórias diferentes: sobre todas as linhas da tabela, e ponderada por quantas vezes o jogo de fato chega a cada linha. TV é a distância de variação total — a fração de probabilidade que teria que se mover para transformar a mistura de uma linha na da outra (0 = idênticas).

A assimetria é o achado. Mudar a classe de vira quase não move o jogo em lugar nenhum: a distância no caminho fica perto de 0,02 e a decisão da raiz muda 0,005. Mudar o placar concentra todo o efeito exatamente onde o jogo passa — a linha de aceitar/correr da raiz move 0,196, as profundidades 1–3 movem 0,12–0,18, e só cerca de metade da massa de jogo fica em linhas efetivamente idênticas. Um núcleo pequeno, raso e sensível ao placar carrega mais ou menos metade do jogo jogado.

Chame de pura a linha cuja maior ação leva mais de 99% da mistura. A mistura domina as tabelas — mas não o jogo jogado:

Mais da metade do jogo real acontece em decisões (quase) puras — as mesmas linhas que coincidem em 99,99%+ entre soluções vizinhas. O complemento é igualmente real: cerca de 45% da massa de jogo é genuinamente mista, a parte do truco ótimo que resiste a regras humanas nítidas. Aperte “pura” para 99,9% e a pureza no caminho cai para 50,7% (11×10) e 39,3% (10×10) — a nitidez amolece com o corte.

O solver é CFR+ síncrono, adotado depois de medir um corte de ~10× no número de iterações com o mesmo ε certificado. A versão de 225 situações foi construída por quatro workers preemptíveis de nuvem em 3–4,5 horas cada — transferindo a solução de um vizinho onde o certificado permitia (85% das situações) e resolvendo do zero onde não — por algo da ordem de US$ 5 de computação. Uma solução a quente da banda do truco hoje faz pico em ~16 GiB e ~18 minutos; uma sequência de trabalho de memória trouxe o mesmo job de uma classe de máquina de 75 GiB.

Certificar é barato perto de resolver: uma melhor resposta exata do jogo inteiro no tier mais fundo — a escada completa a partir do 0×0, 14,6 bilhões de estados visitados — cabe em 8,1 GiB e menos de três horas. A fronteira é a própria solução funda: só montar a árvore do 0×0 na memória pede mais de 150 GiB, e é por isso que a malha abaixo das bandas publicadas é atacada de baixo para cima, subjogo a subjogo.