Truco - Baixada

A solução é um par de estratégias — uma para cada lado — em que nenhum consegue melhorar mudando, faça o outro o que fizer. A teoria dos jogos chama isso de equilíbrio de Nash. Num jogo de cartas escondidas e blefe, isso não pode ser uma única “melhor jogada”: é uma mistura, ajustada para o adversário não conseguir te ler. A ideia inteira cabe num fim de mão minúsculo que dá para resolver à mão —

§ 1

Um blefe que se resolve à mão

Última rodada, apostas reais. A mão saiu com um 3 comum — está na mesa, sem nada atrás. O pé chega segurando a manilha mais alta (m♣, o 5♣ sob v4) ou um 4 morto, com a mesma frequência, e canta truco: a mão sobe de 1 ponto para 3. A mão pode correr — cedendo o ponto base — ou aceitar e jogar a rodada valendo 3. Uma distribuição, um blefe, uma decisão:

mão0pé0

pé

truco!

mão

aceito!

0 mão · 0 trucosnenhum truco ainda

Prancha I Um fim de mão de brinquedo, sorteado ao vivo pela solução: o caminho na árvore, a mesa e o placar andam juntos. A barra acompanha quanto do range de truco do pé segurava mesmo a manilha — converge para p* = 2/3.

A mão deve aceitar? Depende de um número só: p, a fatia de manilhas atrás do truco do pé. Aceitar rende 3 quando o truco era ar e perde 3 quando a manilha aparece; correr custa 1 na certa:

\mathrm{EV}_{\text{call}} \;=\; p\,(-3) \;+\; (1-p)\,(+3) \;=\; 3 - 6p

3 - 6p \;=\; \underbrace{-1}_{\text{fold}} \quad\Longrightarrow\quad p^{\star} = \tfrac{2}{3}

Os pagamentos são pontos para a mão, nas apostas reais do engine: correr de um truco cede o valor aceito anterior (1); aceitar joga a mão aumentada (3). p é a probabilidade de o truco esconder a m♣.

Em p* = 2/3 a mão fica exatamente indiferente. Um range de truco mais rico que dois terços de manilha faz correr ser certo; mais magro, e aceitar imprime. Tudo o que os gráficos do lab mostram é essa mesma aritmética, repetida em escala.

§ 2

Por que a solução mistura

Agora entregue o botão ao pé. Trucar a manilha é automático — a escolha é b, com que frequência o pé também truca o 4 morto. Nunca blefe e todo truco significa manilha: a mão aprende a correr, e o monstro do pé rende um ponto só. Blefe sempre e metade dos trucos é ar: a mão aceita todos e embolsa 3 sempre que o 4 aparece. Os dois hábitos puros são explorados assim que o adversário percebe.

O equilíbrio fica onde ninguém consegue ser lido. O pé blefa exatamente o bastante para o range de truco cair no ponto de indiferença da mão, e a mão aceita exatamente o bastante para o blefe nem imprimir dinheiro nem queimar:

P(\text{m}\clubsuit \mid \text{truco}) \;=\; \frac{\tfrac12}{\tfrac12 + \tfrac12\,b} \;=\; \frac{1}{1+b} \;\overset{!}{=}\; \tfrac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad b^{\star} = \tfrac{1}{2}

\mathrm{EV}_{\text{bluff}} \;=\; c\,(-3) \;+\; (1-c)\,(+1) \;=\; 1 - 4c \;\overset{!}{=}\; -1 \quad\Longrightarrow\quad c^{\star} = \tfrac{1}{2}

b é a frequência de blefe do pé com o 4 morto; c é a frequência de aceite da mão. A distribuição 50/50 mais b* = ½ põe 2 manilhas atrás de cada 3 trucos — o p* acima.

Uma estratégia resolvida sorteia de propósito — exatamente na taxa que torna inútil tentar lê-la. Toda célula mista do lab está fazendo isso.

§ 3

Como a máquina resolve o jogo de verdade

A árvore real do jogo é grande demais para aritmética à mão, então a solução é calculada com minimização de arrependimento contrafactual: o programa joga contra si mesmo por bilhões de mãos e, a cada decisão, pende um pouco mais para aquilo de que se arrependeu —

R^{T}(a) \;=\; \sum_{t \,\le\, T} \Bigl( u_t(a) - u_t(\sigma_t) \Bigr)

\sigma_{T+1}(a) \;=\; \frac{\max\!\bigl(R^{T}(a),\,0\bigr)}{\sum_{a'} \max\!\bigl(R^{T}(a'),\,0\bigr)}

Rᵀ(a) soma quanto jogar sempre a teria rendido a mais que a estratégia de fato jogada; arrependimentos positivos, renormalizados, viram a próxima mistura — regret matching.

Na média do tempo, esse jogo contra si mesmo assenta no equilíbrio, e o resultado é certificado — conferido ação por ação contra uma melhor resposta perfeita — então “exato” significa exato, dentro de uma tolerância declarada.